tecnológica e infomartica: MATEMATICAS

CONCAVIDAD :

En geometría, la concavidad de una curva o de una superficie es la parte que se asemeja a la zona interior de una circunferencia o de una esfera, es decir, que tiene su parte hundida dirigida al observador. Es el concepto complementario al de convexidad.

Una función es cóncava cuando dados dos puntos cualesquiera, el segmento que los une queda por debajo de la curva. Presenta su concavidad hacia abajo.

La concavidad, como característica del gráfico de una función, se refiere a la condición geométrica de la región situada bajo una curva.

Se dice que una función f(x) es cóncava cuando la región bajo la curva también lo es, en caso que la función sea dos veces derivable, ésta es cóncava si y sólo si f"(x) < 0.

Una función cóncava, también se llama cóncava hacia abajo, mientras que una función convexa es llamada cóncava hacia arriba.

Sin embargo, la definición de ángulo cóncavo es la siguiente:
un ángulo es cóncavo, reflejo o entrante si mide más de 180° y menos de 360° (más de $\pi\,$ rad y menos de $2 \pi\,$ rad).

En matemática, una función es cóncava cuando dados dos puntos cualesquiera en el dominio de la función, el segmento que los une queda por debajo de la curva. Presenta su concavidad hacia abajo. Una función cóncava es lo opuesto de una función convexa.

Formalmente, una función real f definida en un intervalo (o en cualquier conjunto convexo C de algún espacio vectorial) se dice que es cóncava, si para dos puntos x e y cualesquiera definidas en su dominio C, y para cualquier t en [0,1], se cumple

f(tx+(1-t)y)\geq t f(x)+(1-t)f(y).

Además, f(x) es cóncavo en [a, b] si y sólo si la función −f(x) es convexa en [a, b].

Una función que es cóncava es a menudo también llamada cóncava hacia abajo, mientras que una función convexa es llamada cóncava hacia arriba.

Una función es estrictamente cóncava si

f(tx + (1-t)y) > t f(x) + (1-t)f(y)\,

para cualquier t en (0,1) y x ≠ y.

Una función continua en C es cóncava si y sólo si

f\left( \frac{x+y}2 \right) \ge \frac{f(x) + f(y)}2

para cualquier x e y en C.

Una función diferenciable f es cóncava en un intervalo si su derivada f ′ es monótonamente decreciente en ese intervalo: una función cóncava posee una pendiente negativa o decreciente. (entendiendo por "decreciente" aquí a que es "no-creciente", en lugar de "estrictamente decreciente"; es decir, se permite la pendiente cero)

Propiedades:Dada una función f doblemente diferenciable, si su segunda derivada f ′′(x) es positiva, entonces f es convexa; si f ′′(x) es negativa, entonces es cóncava. Los puntos donde la concavidad cambia son puntos de inflexión.

Si una función convexa (es decir, cóncava hacia arriba) tiene un "fondo" ("bottom"), cualquier punto al fondo es un mínimo extremo. Si una función cóncava (es decir, cóncava hacia abajo) tiene un "ápice" ("apex"), cualquier punto al ápice es un máximo extremo.

Si f(x) es doblemente diferenciable, entonces f(x) es cóncavo si y sólo si f ′′(x) es negativo o cero. Si su segunda derivada es negativa entonces es estrictamente cóncava, pero lo opuesto no es cierto, como podemos ver para f(x) = -x⁴.

Una función es cuasi-cóncava si y sólo si posee un $x_0$ tal que para todo $x<x_0$ , $f(x)$ es no-decreciente y para todo $x>x_0$ es no-creciente. $x_0$ puede también ser $\pm \infty$ , haciendo la función no-decreciente (no-creciente) para todo $x$ . Además, una función f es cuasi-convexa si y sólo si −f es cuasi-cóncava.

Ejemplos :

La función $f(x)=-x^2$ es cóncava, pues su segunda derivada es siempre negativa.

Cualquier función constante $f(x)=c$ es cóncava y convexa.
La función $f(x)=\sin x$ es cóncava en cualquier intervalo de la forma $[2\pi n, 2\pi n+\pi],\,$ donde $n$ es un entero.

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martes, 16 de septiembre de 2014

MATEMATICAS

CONCAVIDAD :

En geometría, la concavidad de una curva o de una superficie es la parte que se asemeja a la zona interior de una circunferencia o de una esfera, es decir, que tiene su parte hundida dirigida al observador. Es el concepto complementario al de convexidad.

Una función es cóncava cuando dados dos puntos cualesquiera, el segmento que los une queda por debajo de la curva. Presenta su concavidad hacia abajo.

La concavidad, como característica del gráfico de una función, se refiere a la condición geométrica de la región situada bajo una curva.

Se dice que una función f(x) es cóncava cuando la región bajo la curva también lo es, en caso que la función sea dos veces derivable, ésta es cóncava si y sólo si f"(x) < 0.

Una función cóncava, también se llama cóncava hacia abajo, mientras que una función convexa es llamada cóncava hacia arriba.

Sin embargo, la definición de ángulo cóncavo es la siguiente:
un ángulo es cóncavo, reflejo o entrante si mide más de 180° y menos de 360° (más de $\pi\,$ rad y menos de $2 \pi\,$ rad).

En matemática, una función es cóncava cuando dados dos puntos cualesquiera en el dominio de la función, el segmento que los une queda por debajo de la curva. Presenta su concavidad hacia abajo. Una función cóncava es lo opuesto de una función convexa.

Formalmente, una función real f definida en un intervalo (o en cualquier conjunto convexo C de algún espacio vectorial) se dice que es cóncava, si para dos puntos x e y cualesquiera definidas en su dominio C, y para cualquier t en [0,1], se cumple

Además, f(x) es cóncavo en [a, b] si y sólo si la función −f(x) es convexa en [a, b].

Una función que es cóncava es a menudo también llamada cóncava hacia abajo, mientras que una función convexa es llamada cóncava hacia arriba.

Una función es estrictamente cóncava si

para cualquier t en (0,1) y x ≠ y.

Una función continua en C es cóncava si y sólo si

para cualquier x e y en C.

Propiedades:Dada una función f doblemente diferenciable, si su segunda derivada f ′′(x) es positiva, entonces f es convexa; si f ′′(x) es negativa, entonces es cóncava. Los puntos donde la concavidad cambia son puntos de inflexión.

Si una función convexa (es decir, cóncava hacia arriba) tiene un "fondo" ("bottom"), cualquier punto al fondo es un mínimo extremo. Si una función cóncava (es decir, cóncava hacia abajo) tiene un "ápice" ("apex"), cualquier punto al ápice es un máximo extremo.

Si f(x) es doblemente diferenciable, entonces f(x) es cóncavo si y sólo si f ′′(x) es negativo o cero. Si su segunda derivada es negativa entonces es estrictamente cóncava, pero lo opuesto no es cierto, como podemos ver para f(x) = -x⁴.

Ejemplos :

La función $f(x)=-x^2$ es cóncava, pues su segunda derivada es siempre negativa.

Cualquier función constante $f(x)=c$ es cóncava y convexa.

La función $f(x)=\sin x$ es cóncava en cualquier intervalo de la forma $[2\pi n, 2\pi n+\pi],\,$ donde $n$ es un entero.

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martes, 16 de septiembre de 2014

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CONCAVIDAD :

En geometría, la concavidad de una curva o de una superficie es la parte que se asemeja a la zona interior de una circunferencia o de una esfera, es decir, que tiene su parte hundida dirigida al observador. Es el concepto complementario al de convexidad.

Una función es cóncava cuando dados dos puntos cualesquiera, el segmento que los une queda por debajo de la curva. Presenta su concavidad hacia abajo.

La concavidad, como característica del gráfico de una función, se refiere a la condición geométrica de la región situada bajo una curva.

Se dice que una función f(x) es cóncava cuando la región bajo la curva también lo es, en caso que la función sea dos veces derivable, ésta es cóncava si y sólo si f"(x) < 0.

Una función cóncava, también se llama cóncava hacia abajo, mientras que una función convexa es llamada cóncava hacia arriba.

Sin embargo, la definición de ángulo cóncavo es la siguiente: un ángulo es cóncavo, reflejo o entrante si mide más de 180° y menos de 360° (más de rad y menos de rad).

En matemática, una función es cóncava cuando dados dos puntos cualesquiera en el dominio de la función, el segmento que los une queda por debajo de la curva. Presenta su concavidad hacia abajo. Una función cóncava es lo opuesto de una función convexa.

Formalmente, una función real f definida en un intervalo (o en cualquier conjunto convexo C de algún espacio vectorial) se dice que es cóncava, si para dos puntos x e y cualesquiera definidas en su dominio C, y para cualquier t en [0,1], se cumple

Además, f(x) es cóncavo en [a, b] si y sólo si la función −f(x) es convexa en [a, b].

Una función que es cóncava es a menudo también llamada cóncava hacia abajo, mientras que una función convexa es llamada cóncava hacia arriba.

Una función es estrictamente cóncava si

para cualquier t en (0,1) y x ≠ y.

Una función continua en C es cóncava si y sólo si

para cualquier x e y en C.

Propiedades:Dada una función f doblemente diferenciable, si su segunda derivada f ′′(x) es positiva, entonces f es convexa; si f ′′(x) es negativa, entonces es cóncava. Los puntos donde la concavidad cambia son puntos de inflexión.

Si una función convexa (es decir, cóncava hacia arriba) tiene un "fondo" ("bottom"), cualquier punto al fondo es un mínimo extremo. Si una función cóncava (es decir, cóncava hacia abajo) tiene un "ápice" ("apex"), cualquier punto al ápice es un máximo extremo.

Si f(x) es doblemente diferenciable, entonces f(x) es cóncavo si y sólo si f ′′(x) es negativo o cero. Si su segunda derivada es negativa entonces es estrictamente cóncava, pero lo opuesto no es cierto, como podemos ver para f(x) = -x4.

Una función es cuasi-cóncava si y sólo si posee un tal que para todo , es no-decreciente y para todo es no-creciente. puede también ser , haciendo la función no-decreciente (no-creciente) para todo . Además, una función f es cuasi-convexa si y sólo si −f es cuasi-cóncava.

Ejemplos :

La función es cóncava, pues su segunda derivada es siempre negativa.

Cualquier función constante es cóncava y convexa.

La función es cóncava en cualquier intervalo de la forma donde es un entero.

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Sin embargo, la definición de ángulo cóncavo es la siguiente:
un ángulo es cóncavo, reflejo o entrante si mide más de 180° y menos de 360° (más de $\pi\,$ rad y menos de $2 \pi\,$ rad).

Si f(x) es doblemente diferenciable, entonces f(x) es cóncavo si y sólo si f ′′(x) es negativo o cero. Si su segunda derivada es negativa entonces es estrictamente cóncava, pero lo opuesto no es cierto, como podemos ver para f(x) = -x⁴.

La función $f(x)=-x^2$ es cóncava, pues su segunda derivada es siempre negativa.

Cualquier función constante $f(x)=c$ es cóncava y convexa.

La función $f(x)=\sin x$ es cóncava en cualquier intervalo de la forma $[2\pi n, 2\pi n+\pi],\,$ donde $n$ es un entero.